Persamaan Dan Pertidaksamaan Logaritma

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan persamaan logaritma yang mengandung unsur fungsi tertentu. Persamaan ini mengandung beberapa bentuk diantaranya:

Bentuk $^a\log f(x) = b$

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi $f(x) = a^b$ . Dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1. Sebagai contoh, $^x\log(3x + 10) = 2$ , maka:

$^x\log(3x + 10) = 2 \rightarrow 3x + 10 = x^2$

Dari persamaan kuadrat tersebut dapat diketahui akar-akarnya sebagai penyelesaian:

$3x + 10 = x^2 \rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0$

$(x - 5)(x + 2) = 0$

$x_1 = 5$ dan $x_2 = -2$

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Jarak Titik ke Garis, Garis ke Bidang, dsb

Persamaan Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen

Bentuk $^a\log f(x) = ^a\log b$

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = b dengan syarat a > 0, a ≠ 1 dan b > 0. Sebagai contoh, $\log(x^2 - 1) = \log 8$ diubah bentuk menjadi:

$x^2 - 1 = 8$

$x^2 = 9$

Akar-akarnya adalah:

$x_1 = 3$ dan $x_2 = -3$

Bentuk $^a\log f(x) = ^a\log g(x)$

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi $f(x) = g(x)$ . Dengan syarat a > 0, a ≠ 1 dan $f(x)$ > 0 dan $g(x)$ > 0. Sebagai contoh:

$\log(x^2 - 1) - \log(x - 1) = 1 + \log(x - 8)$ ,

Menjadi:

$\log(x^2 - 1) - \log(x - 1) = \log 10 + \log(x - 8)$

$\log(\frac{x^2 - 1}{x - 1}) = \log10(x - 8)$

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 10(x-8)$

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x -1} = 10(x-8)$

$(x + 1) = 10x - 80$

$9x = 81$

Sehingga:

$x = 9$

Bentuk $a(^p\log(x))^2 + b(^p\log f(x)) + c = 0$

Persamaan logaritma ini dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat dengan memisalkan $^p\log f(x) = y$ . Sehingga membentuk persamaan baru:

$a(y)^2 + b(y) + c = 0$

Dari persamaan tersebut akan diperoleh penyelesaian fungsi y, kemudian bisa disubstitusikan kedalam $^p\log f(x) = y$ untuk mendapatkan penyelesaian fungsi x. Sebagai contoh:

$^2\log x((^2\log x) - 3) = ^2 \log 16$

Misalkan $^2\log x = y$ , maka persamaan barunya:

$^2\log x((^2\log x)- 3) = ^2\log 16$

$y(y -3) = ^2\log 2^4$

$y(y - 3) = 4$

$y^2 - 3y = 4$

$y^2 - 3y - 4 = 0$

$(y - 4)( y + 1) = 0$

Akar-akarnya:

$y_1 = 4$ dan $y_2 = -1$

Sehingga diperoleh nilai x dari akar-akar y yaitu:

$y_1 = 4$

$^2 \log x = 4$

$x = 2^4 = 16$

$y_2 = -1$

$^2 \log x = -1$

$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu:

Saat a > 1

Jika $^a\log f(x) < ^a \log g(x)$ , maka $0 < f(x) < g(x)$

Jika $^a\log f(x) data-lazy-src=$ ^a\log g(x)” title=”^a\log f(x) > ^a\log g(x)” class=”latex” />, maka ;g(x) > 0″ title=”f(x) > ;g(x) > 0″ class=”latex” />

Saat 0 < a < 1

Jika $^a\log f(x) < ^a\log g(x)$ , maka g(x) > 0″ title=”f(x) > g(x) > 0″ class=”latex” />

Jika $^a\log f(x) data-lazy-src=$ ^a\log g(x)” title=”^a\log f(x) > ^a\log g(x)” class=”latex” />, maka $0 < f(x) < g(x)$

Sebagai contoh, menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:

$^2\log(2x + 1) < ^2\log 3$

Berubah bentuk menjadi:

$2x + 1$

$2x < 2$

$x < 1$

Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika $^a\log f(x) < ^a\log g(x)$ , maka $0 < f(x) < g(x)$ . Sehingga:

$0 < (2x+1) < 3$

$-1 < (2x) < 2$

$-\frac{1}{2} < x < 1$

Garis bilangannya adalah:

Sama halnya dengan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma sering kali dilakukan permisalan $y = ^a \log x$ . Permisalan ini untuk menyederhanakan dan mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari:

$(2 \log x-1)(\frac{1}{^x\log 10}) data-lazy-src=$ 1″ title=”(2 \log x-1)(\frac{1}{^x\log 10}) > 1″ class=”latex” />

Diubah menjadi:

$(2 \log x - 1)(\log x) data-lazy-src=$ 1″ title=”(2 \log x – 1)(\log x) > 1″ class=”latex” />

$2 \log^2 x - \log x - 1 data-lazy-src=$ 0″ title=”2 \log^2 x – \log x – 1 > 0″ class=”latex” />

Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi:

2y^2 - y - 1 data-lazy-src= 0″ title=”2y^2 – y – 1 > 0″ class=”latex” />

$(2y + 1)(y - 1)$

Akar-akarnya adalah :

$y_1 = -\frac{1}{2}$ dan $y_2 = 1$

Maka nilai x adalah:

$y_1 = -\frac{1}{2}\overset{maka}{\rightarrow}-\frac{1}{2} = \log x$

$x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$y_2 = 1\overset{maka}{\rightarrow}1 = \log x$

$x_2 = 10$

Berlaku syarat x > 0, dan x ≠ 1, maka garis bilangannya adalah:

Penyelesaiannya adalah:

$0 < x < \frac{1}{\sqrt{10}}$ atau x data-lazy-src= 10″ title=”x > 10″ class=”latex” />

Pertidaksamaan Harga Mutlak Logaritma

Operasi logaritma bisa dilakukan dalam sebuah harga mutlak. Penyelesaiannya mengikuti sifat-sifat harga mutlak dan logaritma. Harga mutlak tersebut memiliki sifat-sifat: